KELOMPOK 5
NAMA KELOMPOK : 1. A’IDAH MAQBULLOH
2. FADHILA ARYALISTANTI
3. NELI AGUSTINA
4. SIFA SILVIA
RANGKUMAN LOGIKA MATERI
Di dalam ilmu matematika, kamu juga dapat mempelajari logika. Buat apa? Tentu aja, supaya mengasah otak kita dalam penarikan kesimpulan-kesimpulan. Jadi, ke depannya kita tidak asal menduga sesuatu. Tidak ada lagi deh kalimat ‘Kamu bilangnya mau jemput jam 10. Kok telat? Pasti JALAN SAMA MANTANYA?!’
Pernyataan dan Kalimat Terbuka
LOGIKA MATEMATIKA
Seperti pada pengertian di atas, pernyataan adalah kalimat yang bisa benar atau bisa salah. Sementara kalimat terbuka adalah jenis kalimat “yang belum diketahui kebenarannya”. Sehingga, untuk menentukan benar atau salahnya, kita perlu pengamatan lebih lanjut.
Kalau Squad masih bingung seperti apa itu contoh pernyataan, berikut adalah salah satu contohnya:
Indonesia Raya adalah lagu kebangsaan Indonesia. (pernyataan benar)
Bika ambon berasal dari Ambon. (pernyataan salah
Di sisi lain, contoh dari kalimat terbuka adalah sebagai berikut :
12x + 6 = 91 (pernyataan ini dinamakan kalimat terbuka karena masih harus dibuktikan kebenarannya. Apakah benar 12x jika dijumlahkan dengan 6 akan menghasilkan 91?).
Maaf ya, aku semalem ketiduran. Hehehe. (Pernyataan ini dinamakan kalimat terbuka karena masih harus dibuktikan kebenarannya. Apakah benar dia semalem nggak bales karena ketiduran? Atau emang males aja chat sama kamu?).
Setelah mengetahui apa itu pernyataan dan kalimat terbuka, sekarang kita lanjut pembahasan mengenai ingkaran/negasi/penyangkalan. Ingkaran/negasi/penyangkalan (~)
Dari sebuah pernyataan, kita dapat membuat pernyataan baru berupa “ingkaran/negasi/penyangkalan” atas pernyataan tadi. Berikut adalah tabel kebenaran ingkaran :
ingkaran.png
*B = pernyataan bernilai benar
S = pernyataan bernilai salah
Artinya, jika suatu pertanyaan (p) benar, maka ingkaran (q) akan bernilai salah. Begitu pula sebaliknya. Berikut adalah contoh dalam matematika:
p: Besi memuai jika dipanaskan (pernyataan bernilai benar)
~p: Besi tidak memuai jika dipanaskan (pernyataan bernilai salah).
Contoh lain:
p: Semua unggas adalah burung.
~p: Ada unggas yang bukan burung.
Dalam ilmu matematika, terdapat 4 macam pernyataan majemuk:
Konjungsi (^)
Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”. Sehingga, notasi “p^q” dibaca “p dan q”.
Tabel nilai kebenaran konjungsi:
Dari tabel di atas, kita dapat melihat bahwa konjungsi hanya akan benar jika kedua pernyataan (p dan q) benar.
Contoh:
p: 3 adalah bilangan prima (pernyataan bernilai benar)
q: 3 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai benar)
p^q: 3 adalah bilangan prima dan ganjil (pernyataan bernilai benar)
Disjungsi (V)
Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “atau”. Sehingga notasi “pVq” dibaca “p atau q”.
Tabel nilai kebenaran disjungsi:
Jika kita lihat pada tabel kebenaran, disjungsi hanya salah jika kedua pernyataan (p dan q) salah.
Contoh:
p: Paus adalah mamalia (pernyataan bernilai benar)
q: Paus adalah herbivora (pernyataan bernilai salah)
pVq: Paus adalah mamalia atau herbivora (pernyataan bernilai benar)
Implikasi (->)
Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika… maka…” Sehingga notasi dari “p->q” dibaca “Jika p, maka q”. Adapun tabel nilai kebenaran dari implikasi:
Dari tabel terlihat bahwa implikasi hanya bernilai salah jika anteseden (p) benar, dan konsekuen (q) salah.
Contoh:
p: Andi belajar dengan aplikasi ruangguru. (pernyataan bernilai benar)
q: Andi dapat belajar di mana saja. (pernyataan bernilai benar)
p->q: Jika Andi belajar dengan aplikasi ruangguru, maka Andi dapat belajar di mana saja (pernyataan bernilai benar)
Biimplikasi (<->)
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “… jika dan hanya jika”. Sehingga, notasi dari “p<-> q” akan dibaca “p jika dan hanya jika q”.
Tabel nilai kebenaran Biimplikasi:
Dari tabel kebenaran tersebut, dapat kita amati bahwa biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-sama benar, atau sama-sama salah.
Contoh:
p: 30 x 2 = 60 (pernyataan bernilai benar)
q: 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah)
p<->q: 30 x 2 = 60 jika dan hanya jika 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah).
Nah, itulah tadi pemahaman dari logika matematika baik dalam penggunaan pernyataan dan kalimat terbuka, ingkaran, serta 4 macam kalimat majemuk (konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi).
SOAL LOGIKA MATEMATIKA
(UJIAN NASIONAL 2005/2006)
Dari argumentasi berikut : Jika ibu tidak pergi, maka adik senang. Jika adik senang, maka dia tersenyum. Kesimpulan yang sah adalah …
A. Ibu tidak pergi atau adik tersenyum
B. Ibu pergi dan adik tidak tersenyum
C. Ibu pergi atau adik tidak tersenyum
D. Ibu tidak pergi dan adik tersenyum
E. Ibu pergi atau adik tersenyum
JAWABAN : E
Pembahasan :
Ingat kembali penarikan kesimpulan metode silogisme :
p → q
q → r
————
∴ p → r
misal :
ibu tidak pergi = p
adik senang = q
adik tersenyum = r
Maka kesimpulan yang sesuai dengan pernyataan adalah jika ibu tidak pergi, maka adik tersenyum. Akan tetapi, karena kesimpulan tersebut tidak ada pada opsi jawaban, maka kita harus menentukan pernyataan yang ekuivalen atau sama dengan kesimpulan p → r.
Ingat kembali aturan kesetaraan :
p → r ≡ ~ p ∨ r
p → r : jika ibu tidak pergi, maka adik tersenyum
~ p ∨ r : ibu pergi atau adik tersenyum —> opsi E
(UJIAN NASIONAL 2006/2007)
Diketahui pernyataan :
- Jika hari panas, maka Ani memakai topi
- Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung
- Ani tidak memakai payung
Kesimpulan yang sah adalah …
A. Hari panas
B. Hari tidak panas
C. Ani memakai topi
D. Hari panas dan Ani memakai topi
E. Hari tidak panas dan Ani memakai topi.
JAWABAN B
Pembahasan :
Ingat kembali aturan kesetaraan :
~ q ∨ r ≡ q → r
Misal :
Hari panas = p
Ani memakai topi = q
Ani memakai payung = r
Maka pernyataan di atas dapat ditulis menjadi :
- p → q
- ~ q ∨ r
- ~ r
Karena ~ q ∨ r ≡ q → r, maka dari pernyataan 1 dan 2 diperoleh :
p → q
q → r
————
∴ p → r
Selanjutnya, dari kesimpulan pertama dan pernyataan 3 diperoleh :
p → r
~ r
————
∴ ~ p
Jadi kesimpulan yang sah adalah hari tidak panas. —> opsi B.
Ingat kembali penarikan kesimpulan dengan modus Tollens :
p → r
~ r
————
∴ ~ p
(UJIAN NASIONAL 2007/2008)
Ingkaran dari pernyataan “beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah …
A. Semua bilangan prima adalah bilangan genap
B. Semua bilangan prima bukan bilangan genap
C. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap
D. Beberapa bilangan genap bukan bilangan prima
E. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima
JAWABAN : B
Pembahasan :
Ingat kembali ingkaran pernyataan berkuantor :
~ semua A adalah B = beberapa A bukan/tidak B
~ beberapa A adalah B = semua A bukan/tidak B
~ tidak ada A yang B = beberapa A adalah B
Berdasarkan aturan di atas, maka ingkaran yang sesuai untuk pernyataan “beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah Semua bilangan prima bukan bilangan genap. —> opsi B.
(UJIAN NASIONAL 2007/2008)
Diketahui permis-premis :
- Jika Badu rajin belajar dan patuh, maka Ayah membelikan bola basket.
- Ayah tidak membelikan bola basket
Kesimpulan yang sah adalah …
A. Badu rajin belajar dan patuh.
B. Badu tidak rajin belajar dan Badu tidak patuh.
C. Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh.
D. Badu tidak rajin belajar dan Badu patuh.
E. Badu rajin belajar atau Badu tidak patuh.
JAWABAN : C
Pembahasan :
Misal :
Badu rajin = a
Badu patuh = b
Badu rajin belajar dan patuh = p = (a∧b)
Ayah membelikan bola basket = q
p → q
~ q
————
∴ ~ p
~ p = ~ (a ∧ b) = ~a ∨ ~b
Maka kesimpulan yang sah adalah Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh.
(opsi C)
(UJIAN NASIONAL 2008/2009)
Perhatikan premis-premis berikut :
- Jika saya giat belajar, maka saya bisa meraih juara
- Jika saya bisa meraih juara, maka saya boleh ikut bertanding.
Ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas adalah …
A. Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut tanding
B. Saya giat belajar atau saya tidak boleh ikut tanding
C. Saya giat belajar maka saya bisa meraih juara
D. Saya giat belajar dan saya boleh ikut bertanding
E. Saya ikut bertanding maka saya giat belajar.
JAWABAN : A
Pembahasan :
misal :
saya giat belajar = p
saya bisa meraih juara = q
saya boleh ikut bertanding = r
Kesimpulan yang sah adalah :
p → q
q → r
————
∴ p → r —> jika saya giat belajar maka saya boleh ikut tanding.
Ingkaran dari kesimpulan :
~(p → r) = p ∧ ~r
Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut tanding. (opsi A)
RANGKUMAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Pertidaksamaan Kuadrat dan Himpunan Penyelesaiannya
Cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat diawali dengan menentukan akar-akar pertidaksamaan kuadrat. Cara menentukan akar-akar pertidaksamaan kuadrat masih sama dengan cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Hanya saja diperlukan langkah dengan mengambil harga nol nya. Untuk metode yang digunakan untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat bisa menggunakan metode pemfaktoran, menggunakan rumus abc, atau metode melengkapkan kuadrat sempurna. Setelah mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat, langkah berikutnya adalah menggambar garis bilangan yang sesuai dan menentukan titik uji. Titik uji digunakan untuk menentukan daerah pada garis bilangan tersebut, apakah positif atau negatif. Setelah mendapatkan daerahnya, langkah berikutnya adalah menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan yang diberikan.
Secara ringkas, cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dapat dilihat melalui ringkasan pada daftar di gambar berikut.
Simak ulasan lebih lengkapnya materi cara menentukan pertidaksamaan kuadrat melalui uraian-uraian yang akan diberikan di bawah. Untuk ulasan pertama akan diberikan materi tentang bentuk umum pertidaksamaan kuadrat.
Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat
Sama seperti pada persamaan kuadrat pada umumnya. Pangkat tertinggi pada pertidaksamaan kuadrat adalah 2 (dua). Perbedaan antara persamaan kuadrat dan pertidaksamaan kuadrat hanya terletak pada tanda penghubungnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh perbedaan antara persamaan kuadrat dan pertidaksamaan kuadrat yang diberikan melalui tabel di bawah.
Menentukan Akar-AkarPertidaksamaan Kuadrat
Langkah pertama untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah menentukan akar-akar pertidaksamaan kuadrat. Pada bagian awal telah disinggung bahwa cara menentukan akar-akar pertidaksamaan kuadrat sama dengan cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Perbedaannya hanya dengan mengambil harga nol dari soal pertidaksamaan kuadrat yang diberikan.
Cara mengambil nilai nol dari pertidaksamaan kuadrat hanya dengan cara mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan. Sehingga diperoleh bentuk sementara berupa persamaan kuadrat. Sebagai contoh, perhatikan cara mengambil harga nol dari pertidaksamaan berikut ini.
Cara yang sama juga berlaku untuk semua tanda pertidaksamaan.
Dengan mengambil nilai nol, sobat idschool akan mendapatkan persamaan kuadrat. Selanjutnya, cari akar-akar yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat dapat menggunakan metode pemfaktoran, rumus abc, atau metode melengkapkan kuadrat sempurna.
Setelah mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat yang memenuhi. Buatlah garis bilangan dan menentukan nilai pada masing-masing daerah. Nilai yang dimaksud di sini dapat berupa nilai positif (+) atau negatif .
Simak ulasan lebih lengkap mengenai garis bilangan dan cara menentukan tanda pada masing-masing daerah pada pembahasan dibawah.
Garis Bilangan dan Cara Menentukan Tanda pada Masing-Masing Daerah
Misalkan nilai akar-akar yang diperoleh dari perhitungan sebelumnya adalah a dan b. Maka garis bilangan yang dapat dibentuk dapat dilihat seperti gambar di bawah.
Setelah dapat membentuk daerah garis bilangan seperti pada gambar di atas, berikutnya adalah menentukan nilai pada masing-masing daerah. Caranya adalah dengan mengambil satu titik uji pada suatu daerah.
TIPS: untuk mempermudah perhitungan ambil titik uji x = 0.
Hasil dari titik uji menunjukkan nilai yang mewakili keseluruhan daerah tersebut. Untuk daerah yang lain, biasanya akan bergantian. Maksudnya, jika hasil titik uji menghasilkan daerah positif maka daerah sebelahnya adalah kebalikannya. Begitu juga dengan kondisi sebaliknya.
Namun terdapat pengecualian ketika ada akar kembar hasil dari penentukan akar-akar persamaan kuadrat. Tandanya mengikuti daerah sebelahnya. Perhatikan ilustrasi pada gambar di bawah.
Bagaimana, sudah paham? Cara menentukan tanda pada daerah di garis bilangan akan membantu sobat idschool untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Perhatikan cara menggunakannya pada bagian contoh soal dan pembahasan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Sebelumnya, akan diulas terlebih dahulu cara membentuk himpunan penyelesaian yang disajikan dalam garis bilangan ke dalam persamaan himpunan. Simak ulasannya di bawah.
Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat
Hasil dari daerah yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat biasanya disajikan dalam bentuk himpunan. Pada bagian ini, sobat idschool akan mempelajari cara menentukan notasi himpunan dari garis bilangan. Berikut ini adalah tabel cara membaca himpunan penyelesaian dari garis bilangan yang diberikan secara umum.
Untuk menambah pemahaman sobat idschool terkait materi pertidaksamaan kuadrat. Berikut ini akan diberikan dua contoh soal cara menentukan himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan kuadrat beserta dengan pembahasannya.
SOAL PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – x – 12 ≤ 0 adalah:
a. {x ≤ -3}
b. {x ≤ 4}
c. {x ≤ -3 atau x ≥ 4}
d. {3 ≤ x ≤ – 4)
e. {-3 ≤ x ≤ 4)
Jawab: e. {-3 ≤ x ≤ 4)
Pembahasan
x2 – x – 12 ≤ 0
(x + 3)(x – 4) ≤ 0
Hp = {x|-3 ≤ x ≤ 4}
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2 – x – 12 > 0, ∈R = …..
A. {x I x < -3 atau x > 4, x ∈R}
B. {x I -3 < x < 4, x ∈R}
C. {x I x < -1 atau x > 6, x ∈R}
D. {x I -2 < x < 6, x ∈R}
E. {x I -4 < x < 3, x ∈R}
Jawaban A
Pembahasan:
x2 – x – 12 > 0, ∈R =
(x + 3) (x -4) > 0 =
x = -3 atau x = 4
+++ 3 – – – 4 +++
HP {x I x < -3 atau x > 4, x ∈R}
Himpunan penyelesaian x2 – x – 6 > 0 untuk x ∈R =
A. {x I x < -2 atau x > 3, x ∈R}
B. {x I x < -3 atau x > 2, x ∈R}
C. {x I x < -1 atau x > 6, x ∈R}
D. {x I -2 < x < 3, x ∈R}
E. {x I -1 < x < 6, x ∈R}
Jawaban A
Pembahasan:
x2 – x – 6 > 0
(x + 2) (x -3) > 0
x = -2 atau x = 3
+++ -2 – – – 3 +++
{x I x < -2 atau x > 3, x ∈R}
5.Himpunan penyelesaian x2 – x – 6 < 0 = ……
A. {x I x ≤ -3 atau x ≥ 2 }
B. {x I x ≤ -2 atau x ≥ 3 }
C. {x I -3 ≤ x ≥ 2 }
D. {x I -2 ≤ x ≥ 3 }
E. {x I 2 ≤ x ≥ 3 }
Jawaban D
Pembahasan:
x2 – x – 6 < 0
(x + 3) (x -2)< 0
x = -3 atau x = 2
+++ -3 – – – 2 +++
{x I -2 ≤ x ≥ 3 }Penyelesaian pertidaksamaan 3×2 – 13x – 10 > 0 adalah:
a. x < atau x > 10
b. x < atau x >
c. x < atau x > 5
d. < x < 5e. < x < 10Jawab: c. x < atau x > 5
Pembahasan:
3×2 – 13x – 10 > 0
(3x + 2)(x – 5) > 0
x < atau x > 5
Sifa's blog 